Question

【題目】楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現了楊輝三角.在歐洲，帕斯卡在1654年也發現了這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形.楊輝三角是中國古代數學的杰出研究成果之一，它把二項式系數圖形化，把組合數內在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來，是一種離散型的數與形的結合.

第0行	1
第1行	1 1
第2行	1 2 1
第3行	1 3 3 1
第4行	1 4 6 4 1
第5行	1 5 10 10 5 1
第6行	1 6 15 20 15 6 1

（1）記楊輝三角的前n行所有數之和為，求的通項公式；

（2）在楊輝三角中是否存在某一行，且該行中三個相鄰的數之比為？若存在，試求出是第幾行；若不存在，請說明理由；

（3）已知n，r為正整數，且.求證：任何四個相鄰的組合數，，，不能構成等差數列.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；第62行（3）證明見解析

【解析】

（1）由二項式定理的性質，楊輝三角第行的n個數的和為：，然后求出即可

（2）由方程，解出即可

（3）若有n，r（），使得，，，成等差數列，則由等差中項和組合數的知識可得出，然后可得，這與，，，成等差數列相矛盾.

（1）由二項式定理的性質，楊輝三角第行的n個數的和為：

，

∴.

（2）楊輝三角形的第n行由二項式系數，，1，2，…，n組成.

如果第n行中有，，

那么，，

解這個聯立方程組，得，.

即第62行有三個相鄰的數，，的比為.

（3）若有n，r（），使得，，，成等差數列，

則，，

即，

.

所以有，

，

經整理得到，.

兩式相減可得

而由二項式系數的性質可知，

這與，，，成等差數列矛盾，

所以原命題得證.