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已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，tanA=
2
2
，若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
，則m=
 
．
分析：如圖所示，取AB的中點D，連接OA，OD，由三角形外接圓的性質可得OD⊥AB，于是
DO
•
AB
=0．由向量的三角形法則可得
AO
=
AD
+
DO
，代入已知
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m(
AD
+
DO
)，兩邊與
AB
作數量積得到
cosB
sinC
AB
2+
cosC
sinB
AC
•
AB
=2m
AD
•
AB
+2m
DO
•
AB
，再利用正弦定理化簡可得cosB+cosCcosA=msinC，
再利用兩角和差的余弦公式和三角函數的基本關系式即可得到m．
解答：解：如圖所示，取AB的中點D，連接OA，OD，精英家教網
由三角形外接圓的性質可得OD⊥AB，∴
DO
•
AB
=0．
∵
AO
=
AD
+
DO
，代入已知
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
=2m(
AD
+
DO
)，
兩邊與
AB
作數量積得到
cosB
sinC
AB
2+
cosC
sinB
AC
•
AB
=2m
AD
•
AB
+2m
DO
•
AB
，
∴
cosB
sinC
c2+
cosC
sinB
•bccosA=2m•
1
2
c2=mc2．
由正弦定理可得：
cosB
sinC
•sin2C+
cosC
sinB
•sinBsinCcosA=msin2C，
化為cosB+cosCcosA=msinC，
∵cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，
∴sinAsinC=msinC，
∴m=sinA．
∵tanA=
2
2
，∴sinA=
1
3
=
3
3
．
故答案為：
3
3
．
點評：本題綜合考查了三角形外接圓的性質、垂徑定理、正弦定理、數量積運算性質、兩角和差的余弦公式、三角函數基本關系式等基礎知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O是銳角△ABC的外心，AB=6，AC=10，若
AO
=x
AB
+y
AC
，且2x+10y=5，則
AB
•
AC
=
20
20
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•遼寧一模）已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A=θ，若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
，則m=
sinθ
sinθ
．（用θ表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O是銳角△ABC的外接圓的圓心，且∠A=
π
4
，其外接圓半徑為R，若
cosB
c
•
AB
+
cosC
b
•
AC
=
1
2R
m 
AO
，則m=
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，
.
AB
 
  
.
=16，
.
AC
 
  
.
=10
2
，若
AO
=x
AB
+y
AC
，且32x+25y=25，則
.
AO
 
  
.
=
 
．

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同步練習冊答案
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