Question

【題目】已知函數f（x）＝x3ax2﹣x+1（a∈R）．

（1）當a＝2時，求曲線y＝f（x）在點（1，f （1））處的切線方程；

（2）當a＜0時，設g（x）＝f（x）+x．

①求函數g（x）的極值；

②若函數g（x）在[1，2]上的最小值是﹣9，求實數a的值．

Answer 1

【答案】（1）8x﹣y﹣4＝0；（2）①極大值是1，極小值為，②﹣3

【解析】

（1）求出導數，再求出，然后代入直線的點斜式，求出切線方程；

（2）①求出導數的零點，然后判斷零點左右的符號，確定極值情況；②因為函數連續，所以只需綜合極值、端點處函數值，大中取大，小中取小，確立函數的最值.

解：（1）當a＝2時，f（x）＝x3+3x2﹣x+1，＝3x2+6x﹣1，

∴k＝＝8，f（1）＝4，故切線方程為y﹣4＝8（x﹣1），即：8x﹣y﹣4＝0．

（2）①g（x）＝f（x）+x＝x3，a＜0，

∴令g′（x）＝3x2+3ax＝3x（x+a）＝0得x1＝0，x2＝﹣a＞x1．

隨著x的變化，g（x）和g′（x）的變化如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0，﹣a）	﹣a	（﹣a，+∞）
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以g（x）的極大值是g（0）＝1；極小值為g（﹣a）．

②g′（x）＝3x2+3ax＝3x（x+a），

（1）當﹣1≤a＜0時，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]內遞增，

g（x）min＝g（1）（舍去）．

（2）當﹣2＜a＜﹣1時，則x，g′（x），g（x）關系如下：

x	（1，﹣a）	﹣a	（﹣a，2）
g′（x）	﹣	0	＝
g（x）	↓	極小值	↑

g（x）min＝g（﹣a）（舍）．

（3）當a≤﹣2時，g（x）在[1，2]內單調遞減，

g（x）min＝g（2）＝6a+9＝﹣9，a＝﹣3．

綜上可知，a＝﹣3．