Question

⊙O半徑為

2

R，AB，CD是互相垂直的直徑，沿AB將圓面折成大小為θ的二面角．
（Ⅰ）當θ=90°時，求四面體D-ABC的表面積；
（Ⅱ）當θ=90°時，求異面直線AC與BD所成的角；
（Ⅲ）當θ為何值時，四面體D-ABC的體積V=

2

3

R3？

Answer 1

分析：（Ⅰ）當θ=90°時，先求底面面積再求側面的高，然后求四面體D-ABC的表面積；
（Ⅱ）當θ=90°時，求異面直線AC與BD所成的角；
法一作出異面直線所成的角，然后求解即可．
法二建立空間直角坐標系，利用向量的數量積求解即可．
（Ⅲ）當θ為何值時，四面體D-ABC的體積V=

2

3

R3，先由此體積求出D到底面的距離，然后再求二面角的大�。�

解答：解：（I）由已知，易得AC=CB=BD=DA=2R，
∵DO⊥AB，CO⊥AB∴∠DOC為二面角的平面角θ，
在Rt△DOC中，得DC=2R
于是△ADC，△BCD是全等的正三角形，邊長為2R，
而△ACB，△ADB為全等的等腰直角三角形．
∴四面體D-ABC的表面積=2(

1

2

•AD•BD+AD•DCsin60°)
=2(

1

2

•2R•2R+

1

2

•2R•2R•

3

2

)
=(4+2

3

)R2；
（II）（方法一）設AD中點為M，CD中點為N，
連MN，MO，則AC∥MN，BD∥MO，
則∠NMO為異面直線AC與BD所成的角，
連NO，由（1）可得MN=MO=NO=R，
所以∠NMO=60°．

（方法二）∵DO⊥AB，CO⊥AB，θ=90°
∴分別以OC，OB，OD為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則有A(0，-

2

R，0)，B(0，

2

R，0)，C(

2

R，0，0)，D(0，0，

2

R)
∴

CA

=(-

2

R，-

2

R，0)，

BD

=(0，-

2

R，

2

R)
設異面直線AC與BD所成的角所成的角為α，
則cosα=

CA • BD

| CA |•| BD |

=

2R2

4R2 • 4R2

=

1

2

所以異面直線AC與BD所成的角為60°；
（III）如圖，作DG⊥CO于G，
∵AB⊥DO，AB⊥CO，∴AB⊥平面COD，從而AB⊥DG
∴DG⊥平面ABC，∴DG為四面體D-ABC的高，
在Rt△DOG中，DG=DOsinθ=

2

Rsinθ，
∴V=

1

3

•

1

2

AC•BC•DG=

2 2 R3

3

sinθ，
當V=

2

3

R3時，解得sinθ=

1

2

，所以θ=30°或150°．

點評：本題考查異面直線所成的角，棱錐的體積，是中檔題．