Question

已知直線l：y=ax+1-a（a∈R），曲線C：y=x²．問是否存在實數a，使得曲線C與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于|a|．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：聯立直線l的方程和曲線C的方程可求出直線l和曲線C的交點為（1，1），（a-1，（a-1）²），所以根據已知條件及兩點間距離公式可得到

(a-2)2+(a2-2a)2

=|a|．兩邊平方可得（a-2）²+（a²-2a）²-a²=0  ①，設f（a）=（a-2）²+（a²-2a）²-a²，容易求得f（0）＞0，f（2）＜0，所以f（a）在（0，2）上有零點，即方程①有實數根，所以說存在實數a，使得曲線C與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于|a|．

解答： 解：由

y=ax+1-a y=x2

得，x²-ax+a-1=[x-（a-1）]（x-1）=0；
∴x=1，或a-1；
∴直線l和曲線C的交點為（1，1），（a-1，（a-1）²）；
∴

(a-2)2+(a2-2a)2

=|a|；
（a-2）²+（a²-2a）²-a²=0；
設f（a）=（a-2）²+（a²-2a）²-a²；
f（0）=4＞0，f（2）=-4＜0，且f（a）是連續函數；
∴f（a）在（0，2）上有零點；
即方程（a-2）²+（a²-2a）²-a²=0在（0，2）上有根，并且在a∈（0，2）上曲線C和直線l有兩個不同交點；
即存在實數a，使得曲線C與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于|a|．

點評：考查聯立直線方程和曲線方程求直線和曲線交點坐標的方法，解一元二次方程，兩點間距離公式，以及函數零點的概念及判斷零點是否存在的方法．