Question

若數列{a_n}的首項為a₁=1，且對任意n∈N*，a_n與a_n+1恰為方程x²-b_nx+cⁿ=0的兩根，其中0＜|c|＜1，當

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）≤3，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意再根據韋達定理列出a_n，a_n+1和b_n三者的關系式，再進行變形求出數列{a_n}和{b_n}的特點，對數列分組求和，再由0＜|c|＜1求極限不等式，最后求出c的值．

解答：解：∵對任意n∈N*，a_n與a_n+1恰為方程x²-b_nx+cⁿ=0的兩根，
∴a_n+a_n+1=b_n，a_n•a_n+1=cⁿ
∴

an+1•an+2

an•an+1

=

an+2

an

=

cn+1

cn

=c．
∵a₁=1，∴a₁•a₂=a₂=c．
∴a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，構成首項為1，公比為c的等比數列，
a₂，a₄，a₆，…，a_2n，構成首項為c，公比為c的等比數列．
又∵任意n∈N*，a_n+a_n+1=b_n恒成立．
∴

bn+2

bn

=

an+2+an+3

an+an+1

=c．又b₁=a₁+a₂=1+c，b₂=a₂+a₃=2c，
∴b₁，b₃，b₅，…，b_2n-1，構成首項為1+c，公比為c的等比數列，
b₂，b₄，b₆，…，b_2n，構成首項為2c，公比為c的等比數列，
∵0＜|c|＜1，

lim

n→∞

cⁿ=0，
∴

lim

n→∞

（b₁+b₂+b₃+…+b_n）=

lim

n→∞

（b₁+b₃+b₅+…）+

lim

n→∞

（b₂+b₄+…）
=

lim

n→∞

(1+c)(1-cn)

1-c

+

lim

n→∞

2c(1-cn)

1-c

=

1+c

1-c

+

2c

1-c

≤3．
解得c≤

1

3

或c＞1．
∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤

1

3

或-1＜c＜0．
故c的取值范圍是（-1，0）∪（0，

1

3

]．

點評：本題綜合性強，涉及的知識面廣．本題的關鍵在于根據韋達定理求出數列{a_n}和{b_n}的特點，進行數列分組求和，將題設中的極限不等式轉化為關于c的不等式，顯然“橋梁”應是一元二次方程根與系數的關系．