Question

已知函數f(x)=sin2(

π

4

+x)+cos2x+

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最值與最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥

3

2

(x∈[0，π])成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的降冪公式與輔助角公式可求得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，從而可求函數f（x）的最值與最小正周期；
（Ⅱ）依題意，可知sin（2x+

π

4

）≥0⇒kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），再結合x∈[0，π]即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2(

π

4

+x)+cos²x+

1

2

=

1-cos2( π 4 +x)

2

+

1+cos2x

2

+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

…（4分）
∴f（x）的最大值為

3

2

+

2

2

，最小值為為

3

2

-

2

2

，f（x）的最小正周期為π…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）≥

3

2

，
∴sin（2x+

π

4

）≥0，
∴2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π（k∈Z），
∴kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），…（10分）
又∵x∈[0，π]，
∴x的取值范圍是[0，

3π

8

]∪[

7π

8

，π]．…（12分）

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，突出考查三角函數的降冪公式與輔助角公式的應用，考查正弦函數的最值，屬于中檔題．