Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=6，a_n=3a_n-1+3ⁿ（n≥2，且n∈N^*）
（1）求證數(shù)列{

an

3n

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n-3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=3a_n-1+3ⁿ，等式兩邊同除3ⁿ得，

an

3n

=

an-1

3n-1

+1，構(gòu)造等差數(shù)列{

an

3n

}并求出共通項公式，進而可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n-3ⁿ，其通項由一個等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘得到，則用錯位相減法可求得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）由a_n=3a_n-1+3ⁿ得：

an

3n

=

an-1

3n-1

+1，
即：{

an

3n

}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴

an

3n

=n+1，
∴a_n=（n+1）•3ⁿ（n∈N^*）
（2）∵b_n=n•3ⁿ
∴S_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，…①
3S_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，…②
②-①得
2S_n=-（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）+n×3ⁿ⁺¹=

2n-1

2

•3ⁿ⁺¹+

3

2

∴S_n=

2n-1

4

•3ⁿ⁺¹+

3

4

點評：本題考查了構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，以及錯位相減法求數(shù)列的前n項和，難度中等