Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）當x取什么值時，函數f（x）取得最大值，并求其最大值；
（2）若θ為銳角，且，求tanθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由倍角公式，把2sinxcosx化為sin2x，再用換角化式把2x角化為2x+角，把這個角看成一個整體角X，利用正弦函數的有界性得最大值．
（2）把θ+代入f（x）的解析式得f（θ+）的解析式，
①解法1，由f（θ+）的解析式得cos2θ的值，由平方關系及θ角的范圍得sin2θ的值，由商的關系得tan2θ，再由正切的二倍角公式得tanθ的二次方程，分解因式得tanθ的值，再由角的范圍確定唯一的值．
②解法2，由f（θ+）的解析式得cos2θ的值，由二倍角公式和θ角的范圍得cosθ的值，由平方關系得sinθ的值，由商的關系得tanθ的值．
③解法3，由f（θ+）的解析式得cos2θ的值，由平方關系及θ角的范圍得sin2θ的值，由商的關系得tanθ，分子分母同乘以2cosθ，把角θ化為2θ，代數求值．
解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x（1分）
=（2分）
=．（3分）
∴當，即Z）時，函數f（x）取得最大值，其值為．
（5分）
（2）解法1：∵，∴．（6分）
∴．（7分）
∵θ為銳角，即，∴0＜2θ＜π．
∴．（8分）
∴．（9分）
∴．（10分）
∴．
∴．
∴或（不合題意，舍去）（11分）
∴．（12分）
解法2：∵，∴．
∴．（7分）
∴．（8分）
∵θ為銳角，即，
∴．（9分）
∴．（10分）
∴．（12分）
解法3：∵，∴．
∴．（7分）
∵θ為銳角，即，∴0＜2θ＜π．
∴．（8分）
∴（9分）
=（10分）
==．（12分）
點評：本小題主要考查三角函數性質，同角三角函數的基本關系、兩倍角公式等知識，執果索因，在未知和已知之間架好橋梁，考查化歸與轉化的數學思想方法和運算求解能力．