【題目】已知函數
， 
， 
（其中
是自然對數的底數）．
（1）若曲線
在點
處的切線與直線
垂直，求實數
的值；
（2）記函數
，其中
，若函數
在
內存在兩個極值點，求實數
的取值范圍；
（3）若對任意
， 
，且
，均有
成立，求實數
的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
．
【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得
，解得實數
的值；（2）先求導數
，再根據存在兩個極值點條件可得實數
的取值范圍；（3）設
，先根據函數單調性去掉絕對值
，再移項構造函數： 
， 
，最后根據導數研究新函數單調性，由單調性轉化不等式恒成立條件，解得實數
的取值范圍．
試題解析：（1）因為
，所以
，
因為
在點
處的切線與直線
垂直，
所以
，解得
．
（2）因為
，
所以
，
因為
，所以當
或
時， 
；當
時， 
，
所以
在區間
和
單調遞增；在
單調遞減，
即當
時， 
取極大值，當
時， 
取極小值，
因為函數
在
內存在兩個極值點，所以
．
（3）因為函數
在
上單調遞增，所以
，
所以
對任意的
， 
，且
恒成立，等價于
對任意的
， 
，且
恒成立，等價于
對任意的
， 
，且
恒成立，
即
對任意
， 
，且
恒成立，
所以
在
上是單調遞增函數，
在
上是單調遞減函數，
由
在
上恒成立，
得
在
恒成立，即
在
恒成立，
而
在
上為單調遞增函數，且在
上取得最小值1，
所以
，
由
在
上恒成立，
得
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
則
，令
，得
，
因為
在
上遞增，在
上單調遞減，
所以
在
上取得最大值
，即
，
所以實數
的取值范圍為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知實數a＞0，b＞0，函數f（x）=|x﹣a|﹣|x+b|的最大值為3．
（I） 求a+b的值；
（Ⅱ）設函數g（x）=﹣x2﹣ax﹣b，若對于x≥a均有g（x）＜f（x），求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方體
中， 
分別是棱
的中點， 
為棱
上一點，且異面直線
與
所成角的余弦值為
.
（1）證明： 
為
的中點；
（2）求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】試題分析：（1）以
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
，不妨令正方體的棱長為2，設
，利用
，解得
，即可證得；
（2）分別求得平面
與平面
的法向量
，利用
求解即可.
試題解析：
（1）證明：以
為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
.
不妨令正方體的棱長為2，
則
， 
， 
， 
， 
，
設
，則
， 
，
所以
，
所以
，解得
（
舍去），即
為
的中點.
（2）解：由（1）可得
， 
，
設
是平面
的法向量，
則
.令
，得
.
易得平面
的一個法向量為
，
所以
.
所以所求銳二面角的余弦值為
.
點睛：空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】已知橢圓
的短軸長為2，且橢圓
過點
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設直線
過定點
，且斜率為
，若橢圓
上存在
兩點關于直線
對稱， 
為坐標原點，求
的取值范圍及
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，焦距長為2，左準線為
： 
．
（1）求橢圓
的方程及其離心率；
（2）若過點
的直線
交橢圓
于
， 
兩點，且
為線段
的中點，求直線
的方程；
（3）過橢圓
右準線
上任一點
引圓
： 
的兩條切線，切點分別為
， 
．試探究直線
是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，圓錐OO1的體積為
π．設它的底面半徑為x，側面積為S．
（1）試寫出S關于x的函數關系式；
（2）當圓錐底面半徑x為多少時，圓錐的側面積最小？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，
是定義域為
的奇函數．
（1）確定
的值；
（2）若
，函數
，
，求
的最小值；
（3）若
，是否存在正整數
，使得
對
恒成立？若存在，請求出所有的正整數；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f（x）= 
，g（x）=ax3﹣x2﹣x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）的圖象C在x=﹣ 
處的切線方程是y= 
．
（1）若求a，b的值，并證明：當x∈（﹣∞，2]時，g（x）的圖象C上任意一點都在切線y= 上或在其下方；
（2）求證：當x∈（﹣∞，2]時，f（x）≥g（x）．
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