Question

如圖所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊（包括兩個端點）有n（n＞1，n∈N）個點，每個圖形總的點數記為a_n，則a₆=

 

； 

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

=

 

．

Answer 1

分析：根據圖象的規律可得出通項公式a_n，進而求出a₆，根據數列{

9

anan+1

}的特點可用列項法求其前n項和的公式，而

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

又是前2010項的和，代入前n項和公式即可得到答案．

解答：解：每個邊有n個點，把每個邊的點數相加得3n，這樣角上的點數被重復計算了一次，故第n個圖形的點數為3n-3，即a_n=3n-3
∴a₆=3×6-3=15
令S_n=

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

anan+1

=

1

1×2

+

1

2×3

…

1

(n-1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

…

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

=

n-1

n

∴

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

=S₂₀₁₀=

2009

2010

故答案為：15，

2009

2010

．

點評：本題主要考查等差數列的通項公式和求和問題．屬基礎題．