Question

若a＞0，b＞0，且點（a，b）在過點（1，-1），（2，-3）的直線上，則S=2

ab

-4a2-b2的最大值是

2 -1

2

．

Answer 1

分析：由點（a，b）在過點（1，-1）和（2，-3）的直線上得2a+b=1，所以S=2

ab

-4a²-b²=4ab+2

ab

-1，再令

ab

=t＞0，則S化為關于t的二次函數形式，再由二次函數的性質結合t的取值范圍可得S的最大值．

解答：解：過點（1，-1），（2，-3）的直線方程為：

y+3

-1+3

=

x-2

1-2

，2x+y-1=0．
∴2a+b-1=0，即2a+b=1．
S=2

ab

-4a²-b²=4ab+2

ab

-（2a+b）²=4ab+2

ab

-1
令

ab

=t，∵a＞0，b＞0，∴2a+b=1≥2

2a•b

，∴0＜

ab

≤

2

4

，即 0＜t ≤

2

4

，
則 S=4t²+2t-1，在（0，+∞）上為增函數
故 當t=

2

4

時，S 有最大值

2 -1

2

，
故答案為：

2 -1

2

．

點評：本題考查了函數的最值及其幾何意義，屬于中檔題．注意利用等價轉換，結合基本不等式和二次函數的單調來求這個最值問題．運用換元的思想得到 S=4t²+2t-1，
是解決本題的關鍵．