Question

設函數f(x)＝e^x－ax－2.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)若a＝1，k為整數，且當x>0時，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

Answer 1

解析　(1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)＝e^x－a.

若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增．

若a>0，則當x∈(－∞，lna)時，f′(x)<0；當x∈(lna，＋∞)時，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增．

(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e^x－1)＋x＋1.

故當x>0時，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價于

k<ex－1(x＋1)＋x(x>0)． ①

令g(x)＝ex－1(x＋1)＋x，則g′(x)＝(ex－1)2(－xex－1)＋1＝(ex－1)2(ex(ex－x－2)).

由(1)知，函數h(x)＝e^x－x－2在(0，＋∞)上單調遞增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零點．故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零點．設此零點為α，則α∈(1,2)．

當x∈(0，α)時，g′(x)<0；當x∈(α，＋∞)時，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(α)．又由g′(α)＝0，可得e^α＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．

由于①式等價于k<g(α)，故整數k的最大值為2.