Question

對于函數y=|x-1|+|x-2|+…+|x-2012|的圖象，說法正確的為（ ）
A．圖象無對稱軸，且在R上不單調
B．圖象無對稱軸，且在R上單調遞增
C．圖象有對稱軸，且在對稱軸右側不單調
D．圖象有對稱軸，且在對稱軸右側單調遞增

Answer 1

【答案】分析：函數y=|x-1|+|x-2|+…+|x-2012|表示數軸上的x對應點到1，2，3，4…2012的距離之和，f（x）的圖象關于直線 x= 對稱如圖所示：結合圖形得出結論．
解答：解：由絕對值的意義可得函數y=|x-1|+|x-2|+…+|x-2012|表示數軸上的x對應點到1，2，3，4…2012的距離之和，
當x∈[1，2012]時，|x-1|+|x-2012|取得最小值等于2011，
當x∈[2，2011]時，|x-2|+|x-2011|取得最小值等于2009，
當x∈[3，2010]時，|x-3|+|x-2010|取得最小值等于2007，
…
當x∈[1006，1007]時，|x-1006|+|x-1007|取得最小值等于1．
故當x∈[1006，1007]時，函數y=|x-1|+|x-2|+…+|x-2012|=（|x-1|+|x-2012|）+（|x-2|+|x-2011|）+（|x-3|+|x-2010|）+…（|x-1006|+|x-1007|）
取得最小值為2011+2009+2007+…+1=1006²．

故函數 f（x）的圖象關于直線 x= 對稱．
當x＜1時，函數y=（1-x）+（2-x）+（3-x）+…+（2012-x）=-2012x+2013×1006，
當x＞2012時，函數y=（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+（x-2012）=2012x-2013×1006，
如圖所示：

故圖象有對稱軸，且在對稱軸右側單調遞增，
故選D．
點評：本題主要考查絕對值的意義，帶有絕對值的函數，體現了數形結合、分類討論的數學思想，屬于中檔題．