Question

【題目】已知m∈R，n∈R，并且m+3n=1，則mem+3ne3n的最小值 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵3n=1﹣m， ∴f（m）=mem+3ne3n=mem+（1﹣m）e1﹣m
令g（m）=mem ， h（m）=（1﹣m）e1﹣m
當m≤0時，h（m）為減函數，且h（m）≥h（0）=e，
g（m）=﹣|m|e﹣|m|由于從y=x與y=ex的圖象易知，|m|≤e|m| ，
所以|m|e﹣|m|≤ ，
g（m）=﹣|m|e﹣|m|≥﹣ ，
f（m）=g（m）+h（m）≥﹣ +e，
當m≥ 時，由g（m）與h（m）關于x= 對稱，同上可得f（m）≥e﹣ ，
當 0＜m＜ 時，g（0）=h（1）=0，g（1）=h（0）=e，
g′（m）=（m+1）em＞0，h′（m）=﹣（2﹣m）e1﹣m＜0
且g′（m），h′（m）均為單調遞增，
當0＜m＜ 時，g′（m）＜g′（ ）= ，h′（m）＜h′（ ）=﹣ ，
f′（m）=g′（m）+h′（m）＜0單調遞減，
當 ≤m＜1時，同理，可得f′（m）=g′（m）+h′（m）≥g′（ ）+h′（ ）=0單調遞增
（當m= 時等號成立）
所以當m= 時，f（m）取最小值，
即當m= ，n= 時，mem+3ne3n的最小值為 ．
所以答案是： ．
【考點精析】掌握基本不等式是解答本題的根本，需要知道基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．