Question

如圖，正△ABC的邊長為3，過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于B₁、C₁，將△AB₁C₁沿B₁C₁折起到△A₁B₁C₁的位置，使點A₁在平面BB₁C₁C上的射影恰是線段BC的中點M,求：

(1)二面角A₁B₁C₁M的大小；

(2)異面直線A₁B₁與CC₁所成角的大小(用反三角函數(shù)表示).

Answer 1

解析：(1)連結AM、A₁G，∵G是正三角形ABC的中心，且M為BC的中點，?

∴A、G、M三點共線,AM⊥BC.?

?

∵B₁C₁∥BC,∴B₁C₁⊥AM于G，即GM⊥B₁C₁，GA₁⊥B₁C₁.?

∴∠A₁GM是二面角A₁-B₁C₁-M的平面角.?

∵點A₁在平面BB₁C₁C上的射影為M，∴A₁M⊥MG,∠A₁MG=90°.?

在Rt△A₁GM中，由A₁G=AG=2GM，得∠A₁GM=90°，即二面角A₁-B₁C₁-M的大小是60°.?

(2)過B₁作C₁C的平行線交BC于P，則∠A₁B₁P等于異面直線A₁B₁與CC₁所成的角.?

由PB₁C₁C是平行四邊形得B₁P=C₁C=1=BP，PM=BM-BP=,A₁B₁=AB₁=2.?

∵A₁M⊥面BB₁C₁C于M，?

∴A₁M⊥BC,∠A₁MP=90°.?

在Rt△A₁GM中，A₁M=A₁G•sin60°=.?

在Rt△A₁MP中，A₁P²=A₁M²+PM²=()²+()²=.?

在△A₁B₁P中，由余弦定理得?

cos∠A₁B₁P=.?

∴異面直線A₁B₁與CC₁所成的角為arccos.