Question

（2010•朝陽區二模）如圖所示，f（x）是定義在區間[-c，c]（c＞0）上的奇函數，令g（x）=af（x）+b，并有關于函數g（x）的四個論斷：
①對于[-c，c]內的任意實數m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立；
②若b=0，則函數g（x）是奇函數；
③若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實數根；
④若a＞0，則g（x）與f（x）有相同的單調性．
其中正確的是（　　）

A．②③

B．①④

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：①對于[-c，c]內的任意實數m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，可根據函數的單調性來進行判斷；
②若b=0，則函數g（x）是奇函數，由函數解析式的形式判斷即可；
③若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實數根，由函數的圖象及參數的取值范圍進行判斷；
④若a＞0，則g（x）與f（x）有相同的單調性，由函數的圖象進行判斷．

解答：解：①對于[-c，c]內的任意實數m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，由函數的圖象可以看出，函數不是單調增函數，故命題不正確；
②若b=0，則函數g（x）是奇函數，此命題正確，b=0時，g（x）=af（x）是一個奇函數；
③若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實數根，本題中沒有具體限定b的范圍，故無法判斷g（x）=0有幾個根；
④若a＞0，則g（x）與f（x）有相同的單調性，此命題正確，一個函數乘上一個正數再加上一個數，單調性不改變．
綜上②④正確
故選D．

點評：本題考查奇偶性與單調性的綜合，求解本題的關鍵是對函數的圖象變換的方式與系數的關系以及與所加的常數的關系的理解與運用．一般一個一個奇函數乘上一個數仍是奇函數，一個增函數乘上一個正數仍是增函數，一個函數加上一個常數，不改變其單調性，由這些結論即可保證正確做對本題．