Question

（2013•湛江一模）設變量x，y滿足約束條件

x+y≤4 x-y≤2 x≥0 y≥0

，則其目標函數z=mx+y僅在點（3，1）處取得最大值，則m的取值范圍是

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的四邊形OABC及其內部，再將目標函數z=mx+y對應的直線l進行平移，因為當且僅當直線l經過B（3，1）時，目標函數z=mx+y取得最大值，所以直線l的斜率應該小于直線BC的斜率．由此建立關于m的不等式，解之即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：作出不等式組

x+y≤4 x-y≤2 x≥0 y≥0

表示的平面區域，
得到如圖的四邊形OABC及其內部，其中A（2，0），B（3，1），C（0，4），O（0，0）
設z=F（x，y）=mx+y，將直線l：z=mx+y平移，可得
若當且僅當直線l經過B（3，1）時，目標函數z=mx+y取得最大值
則直線l的斜率-m＜0且-m＜k_BC=-1，解之得m＞1
因此，m的取值范圍是（1，+∞）
故答案為：（1，+∞）

點評：本題給出二元一次不等式組，求在目標函數z=mx+y的最優解唯一時求參數m的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于基礎題．