Question

在數列a_n中，a₁=0，a₂=2，a_n+1+a_n-1=2（a_n+1），n≥2
（1）求數列a_n的通項公式
（2）若不等式(x2-x)(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

)＞1對任意的正整數n都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知得，a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+2，（n≥2），所以a_n+1-a_n=2n，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由a_n=n²-n，知

1

an+1

=

1

n

-

1

n+1

，由已知得x2-x＞

n+1

n

=1+

1

n

對任意的正整數n均成立，由此能求出所求x的范圍．

解答：解：（1）由已知得，a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+2，（n≥2）（1分）
∴數列a_n+1-a_n是以首項為a₂-a₁=2，公差為2的等差數列
∴a_n+1-a_n=2n（3分）
當n≥2時，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=n（n-1）
又a₁=0=1×（1-1）適合，
∴a_n=n（n-1）（6分）
（2）由（1）得，a_n=n²-n，
∴

1

an+1

=

1

n

-

1

n+1

∴

1

a2

+

1

a3

++

1

an+1

=

1

n

-

1

n+1

（9分）
由已知得(x2-x)

n

n+1

＞1
即x2-x＞

n+1

n

=1+

1

n

對任意的正整數n均成立
∴x²-x＞2
∴x＜-1或x＞2
即所求x的范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法和以數列為載體借助函數的性質求參數的取值范圍，解題要全面考慮，統籌分析，避免丟解．