Question

【題目】如圖所示，已知是正三角形，若平面，平面平面，且．

（1）求證：平面；

（2）若平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）過點作于點，由面面垂直性質知平面，可知，由線面平行判定可得到結論；

（2）根據垂直關系可以為坐標原點建立空間直角坐標系，根據二面角的向量求法可求得結果.

（1）過點作于點，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，又平面，平面；

（2），，，，，

平面，，

，，是的中點，

，連結，則，平面，

，，四邊形是矩形，．

以為原點，、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

設，則，，，，，，

，，

設平面的一個法向量為，

則，取，則，，，

取平面的一個法向量為，

，

二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.