Question

下面的三角形數陣叫“萊布尼茲調和三角形”，它們是由整數的倒數組成的，第n行有n個數且兩端的數均為

1

n

（n≥2），每個數是它下一行左右相鄰兩數的和，如

1

1

=

1

2

+

1

2

，

1

2

=

1

3

+

1

6

，

1

3

=

1

4

+

1

12

，…，則第10行第3個數（從左往右數）為

1

360

．
       

1

1

      

1

2

 

1

2

    

1

3

 

1

6

 

1

3

 

1

4

 

1

12

 

1

12

 

1

4

1

5

 

1

20

 

1

30

 

1

20

 

1

5

…

Answer 1

分析：根據題意，分析可得將楊暉三角形中的每一個數C_n^r都換成分數

1

(n+1 )C r n

，就得到一個萊布尼茲三角形，從而可求出第n（n≥3）行第3個數字，進而可得第10行第3個數．

解答：解：將楊暉三角形中的每一個數C_n^r都換成分數

1

(n+1 )C r n

，就得到一個萊布尼茲三角形，
而楊暉三角形中第10行第3個數字是C_10-1²=36，
則“萊布尼茲調和三角形”第10行第3個數字是

1

10×36

=

1

360

；
故答案為

1

360

．

點評：本題考查歸納推理的應用，關鍵是從楊輝三角的角度分析，得到楊輝三角與萊布尼茲調和三角形的聯系．