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(1)已知z的共軛復數是
.
z
,且z•
.
z
-3i•z=
10
1-3i
,求z.
(2)已知z是虛數,求證:z+
1
z
為實數的充要條件是|z|=1.
分析:(1)可設z=a+bi,則
.
z
=a-bi,(a,b∈R)代入z•
.
z
-3i•z=
10
1-3i
,利用復數相等的條件求出a,b的值,即可求出z;
(2)可設z=a+bi,,(a,b∈R)根據充要條件證明的格式,充分性由|z|=1證z+
1
z
是實數,必要性由z+
1
z
是實數證|z|=1
解答:解:(1)設z=a+bi,(a,b∈R),則
.
z
=a-bi,代入z•
.
z
-3i•z=
10
1-3i
,得a2+b2-3ai+3b=1+3i
故有
a2+b2+3b=1
a=-1
a=-1
b=0或-3

綜上知z=-1,或z=-1-3i
(2)設z=a+bi,,(a,b∈R),
充分性:由|z|=1得z•
.
z
=1,即
.
z
=
1
z
,故z+
1
z
=2a,是實數
必要性:由z+
1
z
為實數,即a+bi+
1
a+bi
=a+
a
a2+b2
+(b-
b
a2+b2
)i是實數,
即b-
b
a2+b2
=0,可得a2+b2=1,故有|z|=1
綜上證明知,z+
1
z
為實數的充要條件是|z|=1
點評:本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷,解題的關鍵是掌握充分條件的證明方法,復數的代數形式的乘除運算,復數是一個重要的工具,因為向量的引入,其在高考中的地位下降,只是作為一個運算工具出現在高考試卷了,一般是一個選擇題
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知復數z=1-2i,
.
z
是z的共軛復數,則復數i
.
z
所對應的點在復平面內的第
 
象限內.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知復數z1=3-4i和z2=4-i在復平面內所對應的向量分別為
OZ1
OZ2
(其中O為坐標原點),記向量
Z1Z2
所對應的復數為z,則z的共軛復數為
1-3i
1-3i

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•福建)已知復數z的共軛復數
.
z
=1+2i
(i為虛數單位),則z在復平面內對應的點位于(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:填空題

已知復數z=1-2i,數學公式是z的共軛復數,則復數數學公式所對應的點在復平面內的第________象限內.

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科目:高中數學 來源:2008-2009學年浙江省寧波市慈溪市高二(下)期末數學試卷(理科)(解析版) 題型:填空題

已知復數z=1-2i,是z的共軛復數,則復數所對應的點在復平面內的第    象限內.

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同步練習冊答案
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