Question

（1）已知z的共軛復數是

.

z

，且z•

.

z

-3i•z=

10

1-3i

，求z．
（2）已知z是虛數，求證：z+

1

z

為實數的充要條件是|z|=1．

Answer 1

分析：（1）可設z=a+bi，則

.

z

=a-bi，（a，b∈R）代入z•

.

z

-3i•z=

10

1-3i

，利用復數相等的條件求出a，b的值，即可求出z；
（2）可設z=a+bi，，（a，b∈R）根據充要條件證明的格式，充分性由|z|=1證z+

1

z

是實數，必要性由z+

1

z

是實數證|z|=1

解答：解：（1）設z=a+bi，（a，b∈R），則

.

z

=a-bi，代入z•

.

z

-3i•z=

10

1-3i

，得a²+b²-3ai+3b=1+3i
故有

a2+b2+3b=1 a=-1

得

a=-1 b=0或-3

，
綜上知z=-1，或z=-1-3i
（2）設z=a+bi，，（a，b∈R），
充分性：由|z|=1得z•

.

z

=1，即

.

z

=

1

z

，故z+

1

z

=2a，是實數
必要性：由z+

1

z

為實數，即a+bi+

1

a+bi

=a+

a

a2+b2

+（b-

b

a2+b2

）i是實數，
即b-

b

a2+b2

=0，可得a²+b²=1，故有|z|=1
綜上證明知，z+

1

z

為實數的充要條件是|z|=1

點評：本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，解題的關鍵是掌握充分條件的證明方法，復數的代數形式的乘除運算，復數是一個重要的工具，因為向量的引入，其在高考中的地位下降，只是作為一個運算工具出現在高考試卷了，一般是一個選擇題