Question

給定函數f(x)=

x3

3

-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+

a2

x

（I）求證：f（x）總有兩個極值點；
（II）若f（x）和g（x）有相同的極值點，求a的值．

Answer 1

分析：（I）題目中欲證：“在R上有兩個極值點”，利用導數的意義．即導函數有兩個零點．從而轉化為二次函數f′（x）=0的根的問題，利用根的判別式大于零解決即可．
（II）對函數 g（x）求導可得g′(x)=1-

a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

由g'（x）=0，可得得x=a或-a，結合（I）中結論，從而可得a．

解答：證明：（I）因為f'（x）=x²-2ax+（a²-1）=[x-（a+1）][x-（a-1）]，
令f'（x）=0，則x₁=a+1，x₂=a-1，------------------------------------------（2分）
則當x＜a-1時，f'（x）＞0，當a-1＜x＜a+1，f'（x）＜0
所以x=a-1為f（x）的一個極大值點，-----------------------（4分）
同理可證x=a+1為f（x）的一個極小值點．-------------------------------------（5分）
另解：（I）因為f′（x）=x²-2ax+（a²-1）是一個二次函數，
且△=（-2a）²-4（a²-1）=4＞0，-------------------------------------（2分）
所以導函數有兩個不同的零點，
又因為導函數是一個二次函數，
所以函數f（x）有兩個不同的極值點．---------------------------------------（5分）
（II） 因為g′(x)=1-

a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

，
令g'（x）=0，則x₁=a，x₂=-a---------------------------------------（6分）
因為f（x）和g（x）有相同的極值點，且x₁=a和a+1，a-1不可能相等，
所以當-a=a+1時，a=-

1

2

，當-a=a-1時，a=

1

2

，
經檢驗，a=-

1

2

和a=

1

2

時，x₁=a，x₂=-a都是g（x）的極值點．--------------（8分）

點評：本題主要考查函數的導數、極值等基礎知識，三次函數的單調性可借助于導函數（二次函數）來分析，解得本題不但要熟練掌握函數的導數的相關的知識，還要具備一定的邏輯推理的能力，此題對考生的能力要求較高．