Question

已知函數f（x）=ax²+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．
（1）若函數f（x）的圖象與直線y=±x均無公共點，求證：4b²-16ac＜-1；
（2）若b=4，c=

3

4

時，對于給定的負數a，有一個最大的正數M（a），使x∈[0，M（a）]時，都有|f（x）|≤5，求a為何值時M（a）最大？并求M（a）的最大值；
（3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2時，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于函數f（x）的圖象與直線y=±x均無公共點，所以ax²+2bx+4c=±x無解，從而△＜0，故可證；
（2）把b與c的值代入f（x）中，配方得到頂點式，由a小于0，得到函數有最大值，表示出這個最大值，當最大值大于5時，求出此時a的范圍，又最大值小于-

4

a

，M（a）是方程ax²+8x+3=5的較小根，利用求根公式求出M（a）即可判斷出M（a）小于

1

2

；當最大值小于等于5時，求出此時a的范圍，最大值大于-

4

a

，M（a）是方程ax²+8x+3=-5的較大根，根據求根公式求出M（a）即可判斷M（a）小于等于

5 +1

2

，又

5 +1

2

大于

1

2

，即可得到M（a）的最大值；
（3）求出f（x）的導函數，由a大于0，求出函數有最大值讓其等于2，得到a與b的關系式，由-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，得c的值，又因為|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0），即可得到x=0時，函數取得最小值，表示出對稱軸讓其等于0，即可求得b的值，進而求出a的值，把a，b和c的值代入即可確定出f（x）的解析式

解答：解：（1）證明：∵函數f（x）的圖象與直線y=±x均無公共點，
∴ax²+2bx+4c=±x無解
∴△＜0
∴4b²-16ac＜-1；
 （2）

把b=4，c=

3

4

代入得：f（x）=ax²+8x+3=a (x+

4

a

)2+3-

16

a

，
∵a＜0，所以f（x）_max=3-

16

a

①當3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0時，M（a）滿足：-8＜a＜0且0＜M（a）＜-

4

a

，
所以M（a）是方程ax²+8x+3=5的較小根，
則M（a）=

-8+ 64+8a

2a

=

2

16+2a +4

＜

2

4

=

1

2

；
②當3-

16

a

≤5即a≤-8時，此時M（a）≥-

4

a

，所以M（a）是ax²+8x+3=-5的較大根，
則M（a）=

-8- 64-32a

2a

=

4

4-2a -2

≤

4

20 -2

=

5 +1

2

，
當且僅當a=-8時取等號，
由于

5 +1

2

＞

1

2

，因此當且僅當a=-8時，M（a）取最大值

5 +1

2

；
（3）求得f′（x）=2ax+2b，
∵a＞0，∴f（x）_max=2a+2b=2，即a+b=1，
則-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，
∴4c=-2，解得c=-

1

2

，
又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0）
∴f（x）在x=0處取得最小值，且0∈（-2，2），
∴-

2b

2a

=0，解得b=0，從而a=1，
∴f（x）=x²-2．

點評：本題以函數為載體，考查數形結合的數學思想，會求二次函數在閉區間上的最值，掌握二次函數的圖象與性質，是一道綜合題．