Question

設定義在R上的函數f(x)對任意x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，且當x＞0時，f(x)＜0，試判斷函數f(x)的增減性．

Answer 1

答案：
解析：

分析：對等式恰當賦值，可得f(x)為奇函數，結合條件“當x＞0時，f(x)＜0”，利用函數單調性的定義判斷其增減性． 　　解：令x＝y＝0，得f(0)＝0．又令y＝－x，得f(0)＝f(－x)＋f(x)＝0，則有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數．設x1＜x2，則x2－x1＞0．由題設，可得f(x2－x1)＜0，若令y＝－x1，x＝x2，則f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)是R上的減函數． 　　點評：本題是抽象函數問題，賦值法是有效方法之一，而運用定義判斷函數的增減性是解此類題的首選方法．