Question

【題目】已知橢圓，點、、均在橢圓上，，點與點關于原點對稱，的最大值為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，求外接圓的半徑的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）設，由對稱性求出的坐標，即可表示出，，根據向量的數量積的坐標表示求出，從而求得，，即可得到橢圓方程；

（2）由對稱性，不妨設點在直線的右上方，因為，所以．

即可求出的方程，從而求出的坐標，即可得到，設圓心為，則，再由勾股定理計算可得；

解：（1）設，則，，

又，由對稱性知，所以．①

，，

所以．

注意到，所以時上式取最大值，即．②

代入①得，，

所以橢圓的標準方程為．

（2）由對稱性，不妨設點在直線的右上方，因為，所以．

因為，所以，即直線

將代入橢圓方程，得，解得或（舍去），所以，所以，．

設圓心為，則

由勾股定理：，即．