Question

【題目】已知，是橢圓的左右焦點，橢圓與軸正半軸交于點，直線的斜率為，且到直線的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓上任意一點，過，分別作直線，，且與相交于軸上方一點，當時，求，兩點間距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設出的方程，根據其斜率以及點到直線的距離，即可列出方程，求得結果；

（2）根據題意，得到，從而求得點的軌跡方程，將問題轉化為求一點到圓上任意一點距離的最大值，則問題得解.

解：（1）由題意，可知，，．

∴①．

∵直線的方程為，即．

∴由題意有②．

又③．

由①②③得，，．

∴橢圓的方程為．

（2）由（1）可知：，．

設，且．

則當，都不垂直于軸時，，．

∵，

∴．

∴．

化簡，得．

當或垂直于軸時，得，也滿足上式．

∴點的軌跡方程為．

∴當與圓心距離最大時，，兩點間距離取得最大值．

∵

．

又∵，

∴．

∴，兩點間距離的最大值為．