Question

解關于x的不等式：log₂（x-1）＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1）．

Answer 1

分析：原不等式等價于log₄ （x-1）²＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1），由此可得

x-1＞0 a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1

，由a＞1，可得1＜2-

1

a

，上述不等式等價于

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

①，分1＜a＜2、a=2、a＞2三種情況分別求出原不等式的解集．

解答：解：原不等式等價于log₄ （x-1）²＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1），
∴

x-1＞0 a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1

，即

x＞1 x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

．
由于a＞1，所以1＜2-

1

a

，所以，上述不等式等價于

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

①，
（1）當1＜a＜2時，不等式組②等價于

x＞2- 1 a x＞2或x＜a

，此時，由于(2-

1

a

)-a=

-(a-1)2

a

＜0，所以 2-

1

a

＜a，
從而可得  2-

1

a

＜x＜a 或 x＞2．
（2）當a=2時，不等式組①等價于

x＞ 3 2 x≠2

，所以可得 x＞

3

2

 且x≠2．
（3）當a＞2時，不等式組①等價于

x＞2- 1 a x＜2或x＞a

，此時，由于2-

1

a

＜2，所以，2-

1

a

＜x＜2 或x＞a．
綜上可知：當1＜a＜2時，原不等式的解集為{x|2-

1

a

＜x＜a ， 或x＞2}；
當a=2時，原不等式的解集為{x|x＞

3

2

，且x≠2}；
當a＞2時，原不等式的解集為{x|2-

1

a

＜x＜2或x＞a}．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，對數函數的定義域，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．