Question

已知雙曲線

x2

4

-y2=1的實軸A₁A₂，虛軸為B₁B₂，將坐標系的右半平面沿y軸折起，使雙曲線的右焦點F₂折至點F，若點F在平面A₁B₁B₂內的射影恰好是該雙曲線左頂點A₁，則直線B₁F與平面A₁B₁B₂所成角的正切值為

 

．

Answer 1

分析：通過雙曲線方程，求出a，b，c的大小，就是OA₁，OB₁，OF，由題意畫出圖形，直線B₁F與平面A₁B₁B₂所成角的正切值就是

A1F

A1B1

，求解即可．

解答：解：由題意作出幾何圖形如圖：
雙曲線

x2

4

-y2=1的實軸A₁A₂，虛軸為B₁B₂，
所以a=2，b=1，c=

5

；即：OA₁=2，OB₁=1，OF=

5

；
所以直線B₁F與平面A₁B₁B₂所成角的正切值就是

A1F

A1B1

，
即：

A1F

A1B1

=

5-4

5

=

5

5

，
故答案為：

5

5

．

點評：本題是中檔題，考查雙曲線與幾何體的關系，幾何體的折疊與展開，考查空間想象能力，計算能力，題目新穎，仔細分析不難解答．