Question

如圖是某糧食烘干設備的簡易圖，它是由兩個完全一樣的四棱錐P₁-ABCD與P₂-ABCD組成，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，O₁、O₂分別是BC、AD的中點，P₁O₂⊥面ABCD，P₂O₁⊥面ABCD，且P₁O₂=P₂O₁=a，設備工作時，糧食從兩個四棱兩端的非公共部分流入烘干設備，烘干后糧食自動流到公共部分，要使這個糧食烘干設備一次烘干糧食的體積不小于45個單位體積，求a的最小值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：如圖所示，連接EF，P₁P₂．可得V三棱錐P2-P1AD=

1

3

×S△P1AD×P1P2．由于

V四棱錐P1-AEFD

V三棱錐P1-EFP2

=

S梯形ADEF

S△EFP2

=

3

1

，可得這個糧食烘干設備一次烘干糧食的體積=2V四棱錐P1-ADFE≥45，解出即可．

解答： 解：如圖所示，連接EF，P₁P₂．
V三棱錐P2-P1AD=

1

3

×S△P1AD×P1P2
=

1

3

×

1

2

a2×a=

1

6

a3．
而

V四棱錐P1-AEFD

V三棱錐P1-EFP2

=

S梯形ADEF

S△EFP2

=

3

1

，
∴這個糧食烘干設備一次烘干糧食的體積=2V四棱錐P1-ADFE
=2×

3

4

×

1

6

a3
=

1

4

a3≥45，
解得a≥

3	180

．

點評：本題考查了三棱錐與四棱錐的體積計算公式、線面面面垂直的性質，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．