Question

設f（x）=xlnx，g（x）=ax³（x∈R）．
（1）求f（x）的極值；
（2）設F（x）=f（x）-g（x），討論函數F（x）的零點個數．

Answer 1

分析：（1）確定函數的定義域，利用導數，確定函數的單調性，從而可求函數的極值；
（2）由于F（x）=x（lnx-ax²），故函數F（x）的零點個數與g（x）=lnx-ax²的零點個數相同，
①a≤0時，令g（x）=0，進行變形lnx=ax²，利用數形結合的方法，即可討論得到函數F（x）=f（x）-g（x）的零點的個數；
②a＞0時，求出函數的導函數，判斷函數g（x）的極大值，然后推出函數的零點的個數．

解答：解：（1）函數的定義域為（0，+∞）
求導函數，可得f′（x）=lnx+1
令f′（x）≥0，得lnx≥-1=lne^-1，x≥lne-1=

1

e

；
令f′（x）≤0，得x∈（0，

1

e

]．
∴f（x）的單調遞增區間是[

1

e

，+∞），單調遞減區間是（0，

1

e

]．
∴函數的極小值為f（

1

e

）=-

1

e

，f（x）無極大值；
（2）由于f（x）=xlnx，g（x）=ax³，則F（x）=xlnx-ax³=x（lnx-ax²），
故函數F（x）的零點個數與g（x）=lnx-ax²的零點個數相同，
①當a≤0時，令g（x）=lnx-ax²=0，則lnx=ax²，
如圖示，曲線y=ax²與y=lnx的圖象有且只有一個交點，即一個零點；
②當a＞0時，函數g（x）=lnx-ax²的定義域為（0，+∞），
g′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，
當x∈（0，

1 2a

）時，g′（x）＞0，函數是增函數；
當x∈（

1 2a

，+∞）時，g′（x）＜0，函數是減函數．
由于g（

1 2a

）=

1

2

ln

1

2a

-

1

4a

=0，解得a=t₀≈

2

11

所以當a＞t₀時，g（

1 2a

）＜0，此時函數f（x）零點的個數為0；
當a=t₀時，此時g（

1 2a

）=0，此時函數f（x）零點的個數為1；
當，g（

1 2a

）＞0，此時函數f（x）零點的個數為2．
綜上可知，當a≤0或a=t₀時，f（x）有且僅有一個零點；
當0＜a＜t₀時，f（x）有兩個零點；
當a＞t₀時，f（x）無零點．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，考查學生的運算能力，綜合性較強，中等難度．