Question

如圖所示，兩射線OA與OB交于O，下列向量若以O為起點，終點落在陰影區域內（含邊界）的是

②

．
①2

OA

-

OB

；
②

3

4

OA

+

1

3

OB

；
③

1

2

OA

+

1

3

OB

；
④

3

4

OA

+

1

5

OB

；
⑤

3

4

OA

-

1

5

OB

．

Answer 1

分析：根據題意，分析可得以O為起點的向量，其終點M落在陰影區域內，必有射線OM與線段AB有公共點，進而利用向量加法與數乘運算的性質，得到

OM

=r

ON

=rt

OA

+r（1-t）

OB

；據此依次分析所給的向量：求出每個向量中的r、t，驗證其是否符合0≤t≤1與r（1-t）≥0，即可判斷該向量的終點是否在陰影內；綜合可得答案．

解答：解：設向量的終點為M，若M在陰影區域內，則射線OM與線段AB有公共點，設交點為N，
假設

OM

=r

ON

，（r≥1），
又由N在線段AB上，則存在實數t∈（0，1]使得

ON

=t

OA

+（1-t）

OB

成立，
則

OM

=r

ON

=rt

OA

+r（1-t）

OB

，又由于0≤t≤1，則r（1-t）≥0．
據此分析所給的向量：
①2

OA

-

OB

中，rt=2，r（1-t）=-1＜0，rt+r（1-t）=r=1，滿足r≥1但不滿足r（1-t）≥0，故①不滿足條件．
②

3

4

OA

+

1

3

OB

中，rt=

3

4

，r（1-t）=

1

3

，rt+r（1-t）=r=

13

12

，故②滿足條件．
③

1

2

OA

+

1

3

OB

中，rt=

1

2

，r（1-t）=

1

3

，rt+r（1-t）=r=

5

6

，不滿足r≥1，故③不滿足條件．
④

3

4

OA

+

1

5

OB

中，rt=

3

4

，（1-t）=

1

5

，rt+r（1-t）=r=

19

20

，不滿足r≥1，故④不滿足條件．
⑤

3

4

OA

-

1

5

OB

中，rt=

3

4

，（1-t）=

1

5

，rt+r（1-t）=r=

11

20

，不滿足r≥1，故⑤不滿足條件．
綜上，只有②滿足條件，
故答案為②．

點評：本題考查平面向量基本定理的運用，關鍵是分析得到以O為起點的向量，終點落在陰影區域內的充分必要條件為射線OM與線段AB有公共點，進而得到

OM

=r

ON

=rt

OA

+r（1-t）

OB

．