Question

已知對于任意實數x，函數f（x）滿足f（-x）=f（x）．若方程f（x）=0有2011個實數解，則這2011個實數解之和為

0

．

Answer 1

分析：根據題意得到函數的圖象關于x=1對稱，得到函數的零點關于x=0（y軸）對稱，即方程f（x）=0的根關于x=0（y軸）對稱，得到方程f（x）=0的2011個實數解中有2010個成對，一個就是x=0，成對的兩個根之和等于0，得到所有根的和．

解答：解：∵對于任意實數x，函數f（x）滿足f（1-x）=f（1+x），
∴函數的圖象關于x=0（y軸）對稱，
∴函數的零點關于x=0（y軸）對稱，
∴方程f（x）=0的根關于x=0（y軸）對稱，
∴方程f（x）=0的2011個實數解中有2010個成對，一個就是x=0，
∴成對的兩個根之和等于0，
∴所有的根的和是0×1005+0=0
故答案為：0

點評：本題考查函數的零點與方程的根的關系，考查關于直線對稱的圖形的特點，本題解題的關鍵是看出函數的圖象關于直線x=0（y軸）對稱，得到函數的零點是成對出現的，本題是一個基礎題．