Question

f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足如下兩個條件：
①對于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）；
②當x＞0時，f（x）＜0，且f（1）=-2．
求函數f（x）在[-3，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

解：設x₁＞x₂≥0，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂），
因為x₁＞x₂≥0，所以f（x₁-x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），即函數在[0，3]上單調遞減，
因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以函數在[-3，3]上單調遞減，
因為f（1）=-2，所以f（2）=2f（1）=-4，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-6，
所以函數的最小值為f（3）=-6，函數的最大值為f（-3）=-f（3）=6．
分析：利用條件證明函數的單調性，然后利用單調性和奇偶性的關系，求函數的最值即可．
點評：本題主要考查抽象函數的應用，利用條件證明函數的單調性是解決本題的關鍵．