Question

如圖，線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0）（m＞0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線．
（1）求拋物線方程；
（2）若m為定值，求△AOB面積的最小值；
（3）若∠AOB=

2π

3

，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設直線AB方程為：x=ky+m，拋物線方程為：y²=2px（p＞0），由

y2=2px x=ky+m

得，y²-2pky-2pm=0，再由韋達定理能夠導出拋物線方程；
（2）由S△AOB=

1

2

|OM|•|y1-y2|=

1

2

m

4k2+8m

，能夠導出△AOB面積的最小值；
（3）cos∠AOB=

OA • OB

| OA| •| OB |

=

x1x2+y1y2

(x12+2x1)(x22+2x2)

=

3 (m2-2m)

2m 4k2+8m

=-

1

2

，由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）設直線AB方程為：x=ky+m，拋物線方程為：y²=2px（p＞0），
由

y2=2px x=ky+m

得，y²-2pky-2pm=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有

y1+y2=2pk y1y2=-2pm

，
由題意，|-2pm|=2m?2p=2，
故所求拋物線方程為：y²=2x；
（2）S△AOB=

1

2

|OM|•|y1-y2|
=

1

2

m

4k2+8m

≥m

k2+2m

=m

2m

．
（3）cos∠AOB=

OA • OB

| OA| •| OB |

=

x1x2+y1y2

(x12+2x1)(x22+2x2)

=

3 (m2-2m)

2m 4k2+8m

=-

1

2

，
∴

0＜m＜2 3m2-20m+12=4k2

≥0，
∴0＜m≤

2

3

．

點評：本題考查拋物線方程的求法，求△AOB面積的最小值和求實數m的取值范圍．解題時要認真審題，仔細挖掘題設中的隱含條件，靈活運用拋物線的性質，合理地進行等價轉化．