Question

已知圓C與y軸交于兩點M（0，-2），N（0，2），且圓心C在直線2x-y-6=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）過圓C的圓心C作一直線，使它夾在兩直線l₁：2x-y-2=0和l₂：x+y+3=0間的線段AB恰好被點C所平分，求此直線的方程．

Answer 1

分析：（1）先由M，N的坐標確定圓心C的縱坐標為0，再根據(jù)圓心C在直線2x-y-6=0上，所以x=3，最后確定圓的半徑，從而求出圓的方程；（2）先假設直線AB的方程為y=k（x-3），分別與l₁，l₂聯(lián)立，利用中點坐標公式可求，同時注意斜率不存在情況的驗證．

解答：解：（1）因為圓C與y軸交于兩點M（0，-2），N（0，2），所以圓心C的縱坐標為0．
又因為圓心C在直線2x-y-6=0上，所以x=3．所以圓心C（3，0），半徑|MC|=

32+22

=

13

．
所以圓C的方程為（x-3）²+y²=13．
（2）由（1）知圓心C（3，0），設A點的縱坐標為y₁，B點的縱坐標為y₂，
直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-3），分別與l₁，l₂聯(lián)立得

y=k(x-3) 2x-y-2=0.

解得y1=

4k

k-2

．

y=k(x-3) x+y+3=0.

解得y2=

-6k

k+1

．由中點坐標公式，有

1

2

(y1+y2)=0．即

4k

k-2

+

-6k

k+1

=0．所以k=8．
故所求直線方程為y=8（x-3）．即8x-y-24=0．
當k不存在時，過點C（3，0）的直線方程為x=3與l₁交點為（3，4），與l₂交點為（3，-6），
其中點（3，-1）與圓心C（3，0）不符，故x=3不是所求直線．

點評：本題考查圓的標準方程的求解，關鍵是確定圓心的坐標和半徑，（2）利用設而不求法，應注意分類討論思想的應用