Question

（本題滿分16分）已知函數。
（Ⅰ）當時，證明函數不是奇函數；
（Ⅱ）判斷函數的單調性，并利用函數單調性的定義給出證明；
（Ⅲ）若是奇函數，且在時恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）當時，，因為，，
所以，故不是奇函數； ……………………………………4分
（Ⅱ）函數在上為單調增函數， …………………………………………  6分
證明：設，則……… 8分
∵，∴，，且
又∵，∴
∴，故。
∴函數在上為單調增函數。…………………………………………………10分
（Ⅲ）因為是奇函數，所以對任意恒成立。
即對任意恒成立．
化簡整理得對任意恒成立． ∴…………………12分
又因為在時恒成立，
所以在時恒成立，
令，設，且，
則
由（Ⅱ）可知，，又，
所以，即，
故函數在上是增函數。………………………14分
所以，由。
因此的取值范圍是。 ………………………………………………16分

略