Question

在右圖所示的多面體中，下部ABCD-A′B′C′D′為正方體，點P在DD′的延長線上，且PD′=D′D，M、N分別為△PA′B′和△PB′C′的重心．
（1）已知R為棱PD上任意一點，求證：MN∥平面RAC；
（2）求二面角M-BC-D的正切值大小．

Answer 1

分析：（1）連PM并延長交A'B'于點E，連PN并延長交B'C'于點F，則E、F分別為A'B'、B'C'的中點，連A'C'、EF，則EF∥A'C'，MN∥EF，由此能夠證明MN∥平面RAC．
（2）取AB的中點G，連EG、DG，則得到直角梯形PDGE，面PDGE⊥面BCDG，過M作MH⊥DG于點H，則MH⊥面BCDG，過H作HQ⊥BC于Q，連MQ，則MQ⊥BC，則∠HQM為二面角M-BC-D的平面角，由此能求出二面角M-BC-D的正切值．

解答：解：（1）連PM并延長交A'B'于點E，
連PN并延長交B'C'于點F，
則E、F分別為A'B'、B'C'的中點，
連A'C'、EF，則EF∥A'C'，MN∥EF，
∴MN∥A'C'，又A'C'∥AC，
∴MN∥AC，
∵MN?面ACR，AC?面ACR，
∴MN∥平面RAC．
（2）取AB的中點G，連EG、DG，
則得到直角梯形PDGE，面PDGE⊥面BCDG，交線為DG，
過M作MH⊥DG于點H，則MH⊥面BCDG，
過H作HQ⊥BC于Q，連MQ，則MQ⊥BC，
∴∠HQM為二面角M-BC-D的平面角，
設正方體的棱長為a，則MH=a+

a

3

=

4

3

a，HQ=

2

3

a，
∴二面角M-BC-D的正切值tan∠HQM=

MH

HQ

=2．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．