Question

(本題滿分12分)

一個多面體的三視圖及直觀圖如右圖所示：

（Ⅰ）求異面直線AB₁與DD₁所成角的余弦值：

（Ⅱ）試在平面ADD₁A₁中確定一個點F，使得FB₁⊥平面BCC₁B₁；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角F―CC₁―B的余弦值.

Answer 1

解；依題意知，該多面體為底面是正方形的四棱臺，且D1D⊥底面ABCD。

AB=2A1B1=2DD1=2a……………2分以D為原點，DA、DC、DD1所在的直線為X，Y，Z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），

A（2a，0，0），B1（a，a，a），D1（0，0，a），

B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，a，a）…4分

（Ⅰ）

即直線AB₁與DD₁所成角的余弦值為………………………………………………6分

（II）設F（x，0，z），

     由FB₁平面BCC₁B₁得

即  得即F為DA的中點…………9分

（III）由（II）知FB₁為平面BCC₁B₁的法向量。

設為平面FCC₁的法向量。

由      即令y₁=1得x₁=2，z₁=1

即二面角F―CC₁―B的余弦值為…………………………………12分