Question

（本題滿分15分 ）已知橢圓經過點，一個焦點是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓與軸的兩個交點為、，點在直線上，直線、分別與橢圓交于、兩點．試問：當點在直線上運動時，直線是否恒經過定點？證明你的結論．

 

Answer 1

【答案】

I）

（II）當點在直線上運動時，直線恒經過定點．

【解析】(I)由題意可知橢圓的兩個焦點的坐標分別為,再根據橢圓過點，由橢圓的定義可求出，利用,求出b,焦點在y軸上，所以橢圓方程確定.

(2)分兩種情況研究此問題：當點在軸上時，、分別與、重合，

若直線通過定點，則必在軸上，設，當點不在軸上時，設，、，，，然后分別表示出PA₁和PA₂的方程，分別與橢圓C方程聯立求出M,N的坐標，進而得到向量的坐標，再根據,得到,因而求出m=1,從而得到定點Q（1，0）.

I）方法1：橢圓的一個焦點是 ，

（II）當點在軸上時，、分別與、重合，

若直線通過定點，則必在軸上，設，………………（6分）

當點不在軸上時，設，、，，

直線方程，方程，

代入得，

解得，，

∴，              ……………（9分）

代入得

解得，，

∴，               ………………（11分）

∵，

∴，

∴，，

∴當點在直線上運動時，直線恒經過定點．……（15分）