Question

已知正項數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)，都有成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；

(Ⅲ) 設(shè)如果對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）由已知，得 ①，   ② .    由②得  ③.

將③代入①得，對任意，有

即

是等差數(shù)列.                                                         4分

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的公差為，

由經(jīng)計算，得

                                         9分

（Ⅲ）由（1）得

 

不等式化為

即

設(shè)，則對任意正整數(shù)恒成立．

當(dāng)，即時，不滿足條件；

當(dāng)，即時，滿足條件；

當(dāng)，即時，的對稱軸為，關(guān)于遞減，

因此，只需 解得

綜上，                                                     14分