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(2011•孝感模擬)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左右焦點分別為F1、F2,P是橢圓上一點,向量
F1F2
與向量
F1P
的夾角為
π
6
,且
F1F2
F1P
上的投影的大小恰為|
F1P
|,則橢圓的離心率為(  )
分析:先根據
F1F2
F1P
上的投影的大小恰好為 |
F1P
|
判斷兩向量互相垂直得到直角三角形,進而根據直角三角形中內角為
π
6
,結合雙曲線的定義建立等式求得a和c的關系式,最后根據離心率公式求得離心率e.
解答:解:∵
F1F2
F1P
上的投影的大小恰好為 |
F1P
|

∴PF1⊥PF2
又因為它們的夾角為
π
6

所以∠PF1F2=
π
6

所以在直角三角形PF1F2中,F1F2=2c,
所以PF2=c,PF1=
3
c

又根據橢圓的定義得:PF1+PF2=2a,
3
c+c=2a,
c
a
=
3
-1

所以e=
3
-1

故選A.
點評:本題主要考查了橢圓的簡單性質,同時考查了學生綜合分析問題和運算的能力,解答關鍵是通過解三角形求得a,c的關系從而求出離心率.
練習冊系列答案
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(
1
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2
2
2
2

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a
=(
3
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,cosθ),向量
b
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1
3
),其
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b
,則銳角θ為(  )

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