Question

如圖，在半徑為R、圓心角為的扇形金屬材料中剪出一個(gè)長(zhǎng)方形EPQF，并且EP與∠AOB的平分線OC平行，設(shè)∠POC=θ．
（1）試寫出用θ表示長(zhǎng)方形EPQF的面積S（θ）的函數(shù)；
（2）在余下的邊角料中在剪出兩個(gè)圓（如圖所示），試問當(dāng)矩形EPQF的面積最大時(shí)，能否由這個(gè)矩形和兩個(gè)圓組成一個(gè)有上下底面的圓柱？如果可能，求出此時(shí)圓柱的體積．

Answer 1

解：（1）由條件得，
從而．
（2）由（1）得，
所以當(dāng)時(shí)，即取得最大值，為．
此時(shí)，，
所以EPQF為正方形，依題意知制成的圓柱底面應(yīng)是由EF圍成的圓，
從而由周長(zhǎng)，得其半徑為．
另一方面，如圖所示，設(shè)圓與OA邊切于點(diǎn)H，連接GE、GH、GA，．
設(shè)兩小圓的半徑為GH=r，則，
且AH＞r，從而，所以，
因0.084R＜0.10R，
所以能作出滿足條件的兩個(gè)圓．此時(shí)圓柱的體積．
分析：（1）在Rt△OPC中，OP=R，∠POC=θ，可求PC，OC，從而可得EF，EP，即可求長(zhǎng)方形EPQF的面積，；
（2）制成圓柱的底面周長(zhǎng)為EF，半徑可求，△OEF的內(nèi)切圓半徑可求，兩半徑比較得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題用柱體的側(cè)面積和體積作為載體，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)，求側(cè)面積 S（θ）的最大值和柱體的體積時(shí)，考查了兩角和與差的運(yùn)算，且運(yùn)算量較大，屬于中檔題．