Question

已知雙曲線的兩焦點為，P為動點，若，
（Ⅰ）求動點P的軌跡E方程；
（Ⅱ）若，設直線l過點M，且與軌跡E交于R、Q兩點，直線與交于點S，試問：當直線l在變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知：，又∵，
∴動點必在以為焦點，長軸長為4的橢圓，
∴a=2，
又∵，
∴橢圓C的方程為．
（Ⅱ）由題意，可設直線l為：
取m=0，得，直線的方程是
直線的方程是，交點為，
若，由對稱性可知交點為，若點S在同一條直線上，
則直線只能為
②以下證明對于任意的m，直線與直線的交點S均在直線上．
事實上，由，得，即，記，
則．
設與交于點由，得，
設與交于點，由，得，
∵==，
∴，即與重合，
這說明，當m變化時，點S恒在定直線上。