Question

（2009廣東卷理）（本小題滿分14分）

已知曲線與直線交于兩點和，且．記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區域（含邊界）為．設點是上的任一點，且點與點和點均不重合．

（1）若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程；           

（2）若曲線與有公共點，試求的最小值．

Answer 1

解：（1）聯立與得，則中點，設線段的中點坐標為，則，即，又點在曲線上，

∴化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，∴中點的軌跡方程為（）.

  

（2）曲線，

即圓：，其圓心坐標為，半徑

由圖可知，當時，曲線與點有公共點；

當時，要使曲線與點有公共點，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.