Question

【題目】已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過點M(4,1)，N(2,2).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于不同的兩點，且點M到直線l的距離為，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】(1) ＝1,(2) x－y－1＝0

【解析】

（1）設橢圓的方程為，由橢圓經過點，，利用待定系數法即可得到橢圓的方程；

（2）設直線方程為：，聯立，得，由點到直線的距離公式即可得到直線的方程.

(1)設橢圓C的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由題意得 解得

∴橢圓C的方程為 ＝1.

(2)由題意可設直線l的方程為y＝x＋m，將其代入橢圓方程,

得5x2＋8mx＋4m2－20＝0.

則Δ＝(8m)2－4×5(4m2－20)＝－16m2＋400＞0，

∴－5＜m＜5.

又點M(4,1)到直線l的距離為

∴m＝－1或m＝－5(舍去).

∴直線l的方程為x－y－1＝0.