【題目】已知函數
.
（Ⅰ）若
，求實數
取值的集合；
（Ⅱ）證明：
.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）證明見解析
【解析】
（1）當
時，不滿足題意，當
時，求
的最小值，即可得到本題答案；
（2）要證
，只需證當
時，
，
求得
的最小值，即可得到本題答案.
（Ⅰ）由已知，有
當時，
，與條件
矛盾,
當時，若
，則
，單調遞減,若
，則
，則單調遞增.
所以在
上有最小值
，
由題意，所以
.
令
，所以
，
時，
，
單調遞增；當
時，
，單調遞減，所以在上有最大值
，所以
，
，
，
，
綜上，當時，實數
取值的集合為；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知：時，，即
在時恒成立.
要證，只需證當時，
令
，令
，
則
，令
，解得
，
所以，函數
在
內單調遞減，在
上單調遞增.
即函數
在內單調遞減，在上單調遞增.
而
.
存在
，使得
當
時，
單調遞增；當
時，
單調遞減.
當時，單調遞增，
又
，
對
恒成立，即，
綜上可得：成立.
亮點激活精編提優100分大試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2014年7月18日15時，超強臺風“威馬遜”登陸海南省．據統計，本次臺風造成全省直接經濟損失119.52億元．適逢暑假，小明調查住在自己小區的50戶居民由于臺風造成的經濟損失，作出如下頻率分布直方圖：
經濟損失 4000元以下 | 經濟損失 4000元以上 | 合計 | |
捐款超過500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合計 |
(1)臺風后區委會號召小區居民為臺風重災區捐款，小明調查的50戶居民捐款情況如上表，在表格空白處填寫正確數字，并說明是否有
以上的把握認為捐款數額是否多于或少于500元和自身經濟損失是否到4000元有關？
(2)臺風造成了小區多戶居民門窗損壞，若小區所有居民的門窗均由李師傅和張師傅兩人進行維修，李師傅每天早上在7：00到8：00之間的任意時刻來到小區，張師傅每天早上在7：30到8：30分之間的任意時刻來到小區，求連續3天內，李師傅比張師傅早到小區的天數的數學期望.
附：臨界值表
參考公式： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：
摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢．
（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？
（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）能賺多少錢？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，
是以PF為底邊的等腰三角形，PA平行于x軸，點
，且點P在直線
上運動.記點A的軌跡為C.
（1）求C的方程.
（2）直線AF與C的另一個交點為B，等腰底邊的中線與直線的交點為Q，試問
的面積是否存在最小值？若存在，求出該值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
(
)的焦距為2，橢圓
的左右焦點分別為
，過右焦點作
軸的垂線交橢圓于
兩點，
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點作直線交橢圓于
兩點，若△
的內切圓的面積為
，求△的面積；
（3）已知
，
為圓上一點(在
軸右側)，過作圓的切線交橢圓于
兩點，試問△
的周長是否為一定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年9月，臺風“山竹”在我國多個省市登陸，造成直接經濟損失達52億元.某青年志愿者組織調查了某地區的50個農戶在該次臺風中造成的直接經濟損失，將收集的數據分成五組：
，
，
，
，
（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）試根據頻率分布直方圖估計該地區每個農戶的平均損失（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
（2）臺風后該青年志愿者與當地政府向社會發出倡議，為該地區的農戶捐款幫扶，現從這50戶并且損失超過4000元的農戶中隨機抽取2戶進行重點幫扶，設抽出損失超過8000元的農戶數為
，求的分布列和數學期望.
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