Question

（本小題滿分14分）

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且經過點（－1，），過點P（2，1）的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求直線l的方程以及點M的坐標；

（3）是否存在過點P的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，滿足·=？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

⑴橢圓C的方程為；

⑵切點M的坐標為(1，). ⑶存在直線l₁滿足條件，其方程為y=x

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。

（1）利用橢圓的性質得到關于a,b,c的關系得到橢圓的方程。

（2）設出直線方程與橢圓的方程聯立方程組，結合韋達定理，以及向量的數量積的公式得到參數k的表達式，借助判別式大于零得到k的范圍。

⑴設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），由題意，

得

解得a=4，b²=3，故橢圓C的方程為-----------------------4分

⑵因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k(x—2)+1.

由，得（3+4k²）x²—8k(2k—1)x+16k²—16ｋ—8=0.①

因為直線l與橢圓相切，所以Δ=［—8k(2k—1)］²—4(3+4k²)（16k²—16k—8）=0.

整理，得32(6k+3)=0，解得k=—.

所以直線l方程為y=—(x—2)+1=—x+2.

將k=—代入①式，可以解得M點的橫坐標為1，故切點M的坐標為(1，).-----8分

⑶若存在直線l₁滿足條件，設其方程為y=k₁(x—2)+1，代入橢圓C的方程，得

(3+4k²₁)x²—8k₁(2k₁—1)x+16k²₁—16k₁—8=0.

因為直線l₁與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，

所以Δ=［—8k₁（2k₁—1）］²—4（3+4k²₁）(16k²₁—16k₁—8)=32(6k₁+3)＞0.

所以k₁＞—.

x₁+x₂=，x₁x_2=.

因為·=即（x₁—2）（x₂—2）+（y₁—1）（y₂—1）=，

所以（x₁—2）（x₂—2）（1+k²₁）=｜PM｜²=.即［x₁x₂—2（x₁+x₂）+4］（1+k²₁）=.

所以［—2·+4］（1+k²₁）=，

解得k₁=±.     因為k₁＞—所以k₁₌.

于是存在直線l₁滿足條件，其方程為y=x--------------------14分