Question

一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積與半球的體積恰好相等，則圓錐軸截面頂角的余弦值是（　�。�

• A、

  3

  4

• B、

  4

  3

• C、-

  3

  5

• D、

  3

  5

Answer 1

分析：設(shè)圓錐的半徑為R，高為H，母線與軸所成角為θ，求出圓錐的高，利用體積相等，求出2θ的余弦值即可．

解答：解：設(shè)圓錐的半徑為R，高為H，母線與軸所成角為θ，則圓錐的高 H=R•ctgθ
圓錐的體積 V₁=

1

3

πR²•H=

1

3

πR³ctgθ
半球的體積 V₂=

2

3

πR³
∵V₁=V₂即：

1

3

πR³ctgθ=

2

3

πR³
∴ctgθ=2
∴cos2θ=

3

5

故選D．

點評：本題考查旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺），棱柱、棱錐、棱臺的體積，球的體積和表面積，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．