Question

若一個圓錐和一個半球有公共的底面，且它們的體積相等，則圓錐的軸截面的頂角是（　　）

• A．arccos

  3

  4

• B．arccos

  4

  5

• C．arccos

  3

  5

• D．arccos

  5

  5

Answer 1

分析：根據圓錐和半球有公共的底面，且它們的體積相等，可得圓錐高與底面半徑的關系，解三角形可得答案．

解答：解：圓錐底面和半球的半徑為R，圓錐的高為h
則由它們的體積相等，可得

2

3

πR3=

1

3

πR2h
即h=2R
設圓錐的軸截面的頂角是2α
則tanα=

R

2R

=

1

2

則cos2α=

1-tan2α

1+tan2α

=

3

5

故圓錐的軸截面的頂角2α=arccos

3

5

故選C

點評：本題考查的知識點是旋轉體，球和圓錐的體積，其中根據已知求出圓錐高與底面半徑的關系，是解答本題的關鍵．